在开展美容院业务时，私自操刀经营是违法行为，为了确保顾客的安全和权益，美容院需要取得以下三个关键证书：

1、医疗执业许可证：美容院属于医疗行业，因此必须具备医疗执业许可证，这个证书是卫生部门颁发的，证明美容院具备从事医疗活动的资质，没有医疗执业许可证的美容院，私自进行手术或治疗，将面临严重的法律后果。

2、医疗器械经营许可证：美容院在进行手术或治疗时，需要使用各种医疗器械，这些器械包括注射器、针头、手术刀等，为了确保医疗器械的质量和安全，美容院需要取得医疗器械经营许可证，这个证书是卫生部门颁发的，证明美容院具备合法经营医疗器械的资质。

3、医疗机构执业许可证：美容院可以提供手术或治疗服务，但如果要开设独立的医疗机构，还需要取得医疗机构执业许可证，这个证书是卫生部门颁发的，证明美容院具备独立开展医疗服务的资质，在获得医疗机构执业许可证后，美容院可以在其场所内开展手术或治疗服务。

除了上述三个关键证书外，美容院还需要注意以下几点：

1、严格遵守法律法规：美容院在开展业务时，必须严格遵守国家的法律法规，这包括医疗行业的相关法规，如《中华人民共和国医疗法》、《中华人民共和国医疗器械监督管理条例》等，只有遵守法律法规，美容院才能合法经营，为顾客提供安全、有效的服务。

2、加强从业人员培训：美容院的从业人员需要接受专业的培训，掌握相关的医学知识和技能，还需要注意个人卫生，确保在为顾客提供服务时，不会传播疾病。

3、选择正规的产品和服务供应商：美容院在采购产品和服务时，应选择正规的供应商，这可以确保产品和服务的质量和安全，避免因为使用劣质产品和服务而给顾客带来伤害。

4、做好顾客信息保护：美容院需要妥善保管顾客的个人信息，不得泄露给第三方，要做好顾客隐私保护工作，确保顾客的隐私不被侵犯。

5、定期进行设备检查和维护：美容院使用的医疗器械需要定期进行检查和维护，确保其正常运行和使用安全，对于发现的问题，要及时进行处理，避免因为设备故障而导致的意外事故。

美容院在私自操刀经营时，必须取得医疗执业许可证、医疗器械经营许可证和医疗机构执业许可证等三个关键证书，还要注意遵守法律法规、加强从业人员培训、选择正规的产品和服务供应商、做好顾客信息保护以及定期进行设备检查和维护等方面的工作，确保为顾客提供安全、有效的服务。