播音主持培训师证是由哪个部门发放的，这个问题的答案可能会因地区和国家的不同而有所差异，播音主持培训师证通常由国家广播电视总局颁发。

国家广播电视总局是中华人民共和国国务院直属机构，负责管理和监督广播电视行业，该机构下设多个部门，包括广播电影电视部、网络视听节目管理司、电视剧司等，网络视听节目管理司负责对互联网视听节目服务进行监管和管理，包括对网络直播、短视频等新兴媒体进行监管。

在网络视听节目管理司下设有一个专门的机构，叫做“网络视听节目管理司网络直播管理处”，该处主要负责对网络直播平台进行监管和管理，包括对主播、内容、广告等方面进行审核和监管，在这个机构中，有一些专业的人员负责对播音主持培训师证进行审核和颁发。

除了国家广播电视总局之外，还有一些地方性的广播电视局也会颁发播音主持培训师证，广东省广播电视局就负责颁发广东省内的播音主持培训师证，这些地方性的广播电视局通常也是隶属于地方政府的文化宣传部门。

无论是国家级还是地方级的广播电视局，都有权利颁发播音主持培训师证，不过，需要注意的是，不同的机构对于证书的认可程度可能会有所不同，在选择培训机构时一定要注意查看其是否具有合法资质和权威认证。